پارادوکس تولد چیست؟ – تی ام گیم

حالا یک گروه سه نفره را درنظر بگیرید. دو نفر اول بیانگر دو تاریخ هستند؛ به این معنی که احتمال اینکه روز تولد شخص سوم با دو نفر دیگر یکسان نباشد، برابر با ۳۶۵/۳۶۳ است. به این ترتیب، احتمال اینکه همه آنها در یک روز به دنیا آمده باشند، برابر خواهد بود با ۱ منهای حاصل‌ضرب ۳۶۴/۳۶۵ و ۳۶۳/۳۶۴؛ یا احتمالی در حدود ۰٫۸۲ درصد.
 
البته هر چه تعداد افراد در یک گروه بیشتر باشد، شانس این که دست‌کم یک جفت از افراد در یک روز به دنیا آمده باشند هم بیشتر است. فراست خاطرنشان می‌کند اگر تعداد افراد به ۲۳ نفر برسد، احتمال تولد دو نفر از آنها در یک روز به ۵۰٫۷۳ درصد خواهد رسید و با وجود ۵۷ نفر، این احتمال تا ۹۹ درصد افزایش پیدا می‌کند.
 
فراست می‌گوید: «من پیام‌هایی از اساتید آمار کالج دریافت کرده‌ام که بر سر یکسان بودن روز تولد دو نفر در یک کلاس آماری خاص، ۲۰ دلار شرط‌بندی کرده‌اند. با توجه به احتمال مربوط به مسأله تولد، این استادها می‌دانند که برنده شدن‌شان عملاً تضمین شده است. اما هر ترم، دانشجویان همیشه شرط می‌بندند و می‌بازند! خوشبختانه، این استادان می‌گویند که پول را پس می‌دهند و سپس به آنها یاد می‌دهند که چگونه مسأله روز تولد را حل کنند».
 
پاسخ مسأله تولد، از جهاتی غیرشهودی به نظر می‌رسد. فراست اشاره می‌کند: «یکی این است که افراد ممکن است ناخودآگاه محاسبه کنند که شانس تولد شخص دیگری در یک گروه چقدر است، غافل از اینکه سؤال واقعی این است که آیا کسی در یک گروه هست که با فرد دیگری در یک روز به دنیا آمده باشد یا نه».
 
وی می‌افزاید: «من فکر می‌کنم نکته دوم این است که آن‌ها کار را اینطور شروع می‌کنند: خوب، در سال ۳۶۵ روز وجود دارد، بنابراین احتمالاً برای ۵۰ درصد شانس به حدود ۱۸۲ نفر نیاز داریم. اما مهمتر از همه این است که آنها به طور قابل توجهی سرعت افزایش احتمال با بیشتر شدن افراد گروه را دست‌کم می‌گیرند. تعداد جفت‌های احتمالی به طور تصاعدی با اندازه گروه افزایش می‌یابد و انسان‌ها درک درستی از رشد نمایی ندارند».
 
فراست خاطرنشان می‌کند که مسأله تولد، از نظر مفهومی با یک مسأله رشد نمایی دیگر نیز مرتبط است. او می‌گوید: «فرض کنید در ازای انجام خدمت خاص، به شما پیشنهاد می‌شود در روز اول ۱ سنت، روز دوم ۲ سنت، روز سوم ۴ سنت، ۸ سنت، ۱۶ سنت دریافت کنید و این کار را به مدت ۳۰ روز ادامه خواهد داشت. آیا این معامله خوب است؟ بیشتر مردم فکر می‌کنند معامله چندان پرسودی نیست؛ اما بد نیست بدانید که به لطف رشد نمایی، در طی ۳۰ روز مجموعاً ۱۰٫۷ میلیون دلار دریافت خواهید کرد!»